(1+3a)(1+3b)(a+b) ≥24ab
(a+b) + 9ab(a+b) + 3(a+b)² ≥ 24ab
a + b + 9a²b + 9ab² + 3a² + 3b² + 6ab ≥ 24ab
x² + y² ≥ 2xy, поэтому:
a + 9ab² ≥ 2√(9a²b²) = 6ab
b + 9a²b ≥ 6ab
a² + b² ≥ 2ab
итого:
a + b + 9a²b + 9ab² + 3a² + 3b² + 6ab ≥ 6ab + 6ab + 3*2ab + 6ab = 24ab
что и требовалось доказать
2.
x² + 36 - 12|x| = x² + 2ax + a²
1) x ≥ 0
36 - 12x = 2ax + a²
(2a + 12)x = 36 - a²
x = (36 - a²)/(2a + 12), a≠-6
(36 - a²)/(2a+12) ≥ 0
__-__(-6)______+____[6]___-___
a∈(-6; 6] - есть корень, для остальных нет
2) x < 0
36 + 12x = 2ax + a²
(2a - 12)x = 36 - a²
x = (36 - a²)/(2a - 12) < 0
__+__(-6)___-____(6)___+__
a∈(-6; 6) есть корень, для остальных нет
проверим a = -6:
||x| - 6| = x - 6
1) x ≥ 6
x - 6 = x - 6
-6 = -6 - верно - решений бесконечно много x ≥ 6
проверим a = 6
||x| - 6| = x + 6
-6 ≤ x ≤ 0
6 + x = x + 6
6 = 6
x ∈ [-6; 0]
0 < x < 6
6 - x = x + 6
2x = 0
x = 0
x ≥ 6
x - 6 = x + 6
нет решений
итого решение при a = 6: x ∈ [-6; 0] - их бесконечно много
для a ∈ (-6; 6) - два решения
для a∈(-∞; -6) U (6; +∞) - нет решений
для a = -6 и a = 6 - бесконечно много решений среди R чисел