В ΔABC медианы пересекаются в точке M. Прямая PM пересекает сторону AB в точке K, сторону...

Question

В ΔABC медианы пересекаются в точке M. Прямая PM пересекает сторону AB в точке K, сторону AC в точке L, а точка P лежит на продолжении стороны BC за точку C.
Докажите, что 1/MK = 1/ML + 1/MP.

Задача мелькала тут 8-9 месяцев назад, но её никто так и не решил.
Примечание: использовать теорему Чевы и Менелая.

Answer 1

Положим что Z середина стороны BC .
1)Тогда по теореме Менелая для треугольника PZM секущая AC получаем CZ/PC*PL/ML*AM/AZ=1 , но AZ медиана , значит AM/AZ=3/2, откуда PL=3ML*PC/(2CZ) , значит PM=PL+ML=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) (*1)
2)По теореме Менелая для треугольника BKP секущая AZ получаем BZ/PZ*PM/MK*AK/AB=1
Либо , что тоже самое что
CZ/(PC+CZ) * PM/MK * AK/AB = 1
Откуда MK=PM*(CZ/(PC+CZ))*(AK/AB) (*2)
Выразим соотношение AK/AB через PC и CZ .

3) По той же теореме для треугольника ABC , секущая PK получаем BK/AK * (AL/CL) * (PC/(PC+2CZ)) = 1 .
Но (1/2)*(AL/CL)*PC/(PC+CZ)=1 (теорема Менелая для треугольника ACZ) откуда AL/CL=2(PC+CZ)/PC .
Значит BK/AK=(PC+2CZ)/(2PC+2CZ) , откуда AK/AB=2(PC+CZ)/(3PC+4CZ) .

4) Подставляя (*2) получаем
MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ) (*3)

5) Из (*1) а именно PM=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) по условию требуется доказать что 1/ML+1/MP=1/MK подставим
1/ML+2CZ/(ML*(3PC+2CZ)) = (3PC+4CZ)/(ML*(3PC+2CZ))= 1/MK
Откуда MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ)
А это и есть (*3) доказанная ранее.

Comments

Вау, спасибо огромное! Буду разбирать ваше доказательство.