Розвяжіть нерівність 1/2-x + 5/2+x < 1

Упрощаем выражение:

$\cfrac{1}{2-x}+\cfrac{5}{2+x} = \cfrac{1\cdot (2+x)+5\cdot (2-x)}{(2-x)\cdot(2+x)}=\cfrac{2+x+10-5x}{2^2-x^2}=\cfrac{12-4x}{4-x^2}$

Переносим 1 в левую часть:

$\cfrac{12-4x}{4 - x^2} -1 \ \textless \ 0$

Приводим к общему знаменателю:

$\cfrac{12-4x-4 + x^2}{4 - x^2} \ \textless \ 0$

$\cfrac{x^2-4x+8}{4-x^2} \ \textless \ 0$

Разберёмся с числителем, вычислим дискриминант:

$D = b^2-4ac = 4^4-4\cdot 8 = 16 - 32 = -16$

Дискриминант меньше нуля, значит действительных корней нет (функция в числителе не пересекает ноль). Подставив x=0 в числитель получаем 8, а 8 это число больше 0. Значит функция в числителе всегда положительна и на неравенство не влияет.

Получается что неравенство выполняется когда знаменатель меньше 0.

$4 - x^2 \ \textless \ 0$

$(2-x)\cdot (2+x) \ \textless \ 0$

Ответ: неравенство выполняется при X>2 и при X<(-2)