Вопрос в картинках...

Question 1

Решите задачу:

$1) \lim_{x \to \ -2} \frac{ \sqrt{x+3} -1}{ x^{2} -4} \\ 2) \lim_{n \to \infty} (\frac{n^2+2n+1}{n^2-n+2})^- \frac{n}{3} \\ 3) \lim_{x \to \ 0} \frac{Ln(1+ x^{2} )}{ e-^{x2}-1 } \\\\ 4) \lim_{x \to \infty} \frac{ x^{2}+3x+1 }{1+x \sqrt{x} +2 \sqrt{x^4} }$

Question 2

1) Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x+3}+1$
$\lim_{x \to \inft-2} \frac{(\sqrt{x+3}-1)*(\sqrt{x+3}+1)}{(x^{2} -4)*(\sqrt{x+3}+1)} = \lim_{x \to \inft-2} \frac{x+2}{(x+2)*(x-2)*(\sqrt{x+3}+1)} = =\lim_{x \to \inft-2}\frac{1}{(x-2)*(\sqrt{x+3}+1)}=\frac{1}{(-2-2)*( \sqrt{-2+3}+1 )} =- \frac{1}{8}$

2) Числитель и знаменатель первой дроби разделим на n²
$\lim_{n \to \infty} \frac{ n^{2}+2n+1 }{n^{2}-n+2}- \frac{n}{3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^{2}}}{1- \frac{1}{n}+ \frac{2}{n}} - \frac{n}{3} =$
= $\frac{1+ \frac{2}{oo}+ \frac{1}{oo^{2}}}{1- \frac{1}{oo}+ \frac{2}{oo}} - \frac{oo}{3}=1-oo=-oo$

3) Числитель и знаменатель умножим на $e^{ x^{2} }$
$\lim_{x \to \inft0} \frac{ e^{ x^{2}}*ln(1+ x^{2} )}{ e^{ x^{2}}*( e^{ -x^{2}}-1 )} = \lim_{x \to \inft0} e^{ x^{2}}*\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(1+x^{2})}{(1- e^{ x^{2}})} = =1*\lim_{x \to \inft0} - \frac{ln(1+ x^{2} )}{ e^{ x^{2} -1}} = -\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{ln(1+ x^{2})}{x^{2}}} { \frac{( e^{ x^{2}}-1 )}{x^{2}}} =$
= $- \frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(1+ x^{2})}{ x^{2} } } {\lim_{x \to \inft0} \frac{( e^{ x^{2} }-1 )}{ x^{2} } } =- \frac{1}{1} =-1$
Разделив числитель и знаменатель ещё на x², привели к следствиям второго замечательного предела.

4) Числитель и знаменатель делим на x²
$\lim_{x \to \infty} \frac{1+ \frac{3}{x}+ \frac{1}{ x^{2} }} { \frac{1}{ x^{2} } + \frac{1}{ \sqrt{x}}+2} = \frac{1+ \frac{3}{oo}+ \frac{1}{ oo^{2} }} { \frac{1}{ oo^{2} } + \frac{1}{ \sqrt{oo}}+2}= \frac{1}{2}$

AssignFile_zn · Answer 1 · 2018-05-16T03:49:40+0000

1) Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x+3}+1$
$\lim_{x \to \inft-2} \frac{(\sqrt{x+3}-1)*(\sqrt{x+3}+1)}{(x^{2} -4)*(\sqrt{x+3}+1)} = \lim_{x \to \inft-2} \frac{x+2}{(x+2)*(x-2)*(\sqrt{x+3}+1)} = =\lim_{x \to \inft-2}\frac{1}{(x-2)*(\sqrt{x+3}+1)}=\frac{1}{(-2-2)*( \sqrt{-2+3}+1 )} =- \frac{1}{8}$

2) Числитель и знаменатель первой дроби разделим на n²
$\lim_{n \to \infty} \frac{ n^{2}+2n+1 }{n^{2}-n+2}- \frac{n}{3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^{2}}}{1- \frac{1}{n}+ \frac{2}{n}} - \frac{n}{3} =$
= $\frac{1+ \frac{2}{oo}+ \frac{1}{oo^{2}}}{1- \frac{1}{oo}+ \frac{2}{oo}} - \frac{oo}{3}=1-oo=-oo$

3) Числитель и знаменатель умножим на $e^{ x^{2} }$
$\lim_{x \to \inft0} \frac{ e^{ x^{2}}*ln(1+ x^{2} )}{ e^{ x^{2}}*( e^{ -x^{2}}-1 )} = \lim_{x \to \inft0} e^{ x^{2}}*\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(1+x^{2})}{(1- e^{ x^{2}})} = =1*\lim_{x \to \inft0} - \frac{ln(1+ x^{2} )}{ e^{ x^{2} -1}} = -\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{ln(1+ x^{2})}{x^{2}}} { \frac{( e^{ x^{2}}-1 )}{x^{2}}} =$
= $- \frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(1+ x^{2})}{ x^{2} } } {\lim_{x \to \inft0} \frac{( e^{ x^{2} }-1 )}{ x^{2} } } =- \frac{1}{1} =-1$
Разделив числитель и знаменатель ещё на x², привели к следствиям второго замечательного предела.

4) Числитель и знаменатель делим на x²
$\lim_{x \to \infty} \frac{1+ \frac{3}{x}+ \frac{1}{ x^{2} }} { \frac{1}{ x^{2} } + \frac{1}{ \sqrt{x}}+2} = \frac{1+ \frac{3}{oo}+ \frac{1}{ oo^{2} }} { \frac{1}{ oo^{2} } + \frac{1}{ \sqrt{oo}}+2}= \frac{1}{2}$