X⁵y⁴ + z⁵z⁴ + y⁵x⁴ + y⁵z⁴ + z⁵x⁴ + z⁵y⁴ ≥ 6x³y³z³
Разделим на 6:
(x⁵y⁴ + x⁵z⁴ + y⁵x⁴ + y⁵z⁴ + z⁵x⁴ + z⁵y⁴)/6 ≥ x³y³z³
Заметим, что перемножив все слагаемые, получим:
x⁵y⁴·x⁵z⁴·y⁵x⁴·y⁵z⁴·z⁵x⁴·z⁵y⁴ = x¹⁸y¹⁸z¹⁸
![\sqrt[6]{x^{18}z^{18}y^{18}} = |x^3y^3z^3| = x^3y^3z^3](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%5B6%5D%7Bx%5E%7B18%7Dz%5E%7B18%7Dy%5E%7B18%7D%7D+%3D+%7Cx%5E3y%5E3z%5E3%7C+%3D+x%5E3y%5E3z%5E3+ "\sqrt[6]{x^{18}z^{18}y^{18}} = |x^3y^3z^3| = x^3y^3z^3")
Количество слагаемых - 6.
Значит, в правой части представлено среднее арифметическое шести чисел, а в правой части - среднее геометрическое.
Как известно, среднее арифметическое n-ого количества чисел больше n-ого количества среднего геометрического этих же чисел (или равно, если все n чисел равны между собой).