Область определения функции. ОДЗ:
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x^3-3*(x^2)-24*x+26.
Результат: y=26. Точка: (0, 26)
Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:
x^3-3*(x^2)-24*x+26 = 0
Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X:
x=1. Точка: (1, 0)
x=1 + 3*sqrt(3). Точка: (1 + 3*sqrt(3), 0)
x=-3*sqrt(3) + 1. Точка: (-3*sqrt(3) + 1, 0)
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю) , и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y'=3*x^2 - 6*x - 24=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
x=-2. Точка: (-2, 54)
x=4. Точка: (4, -54)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках: -2
Максимумы функции в точках: 4
Возрастает на промежутках: [-2, 4]
Убывает на промежутках: (-oo, -2] U [4, oo)
Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:
y''=6*x - 6=0
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:
x=1. Точка: (1, 0)
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов :
Вогнутая на промежутках: (-oo, 1]
Выпуклая на промежутках: [1, oo)
Вертикальные асимптоты Нету
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы:
lim x^3-3*(x^2)-24*x+26, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существует
lim x^3-3*(x^2)-24*x+26, x->-oo = -oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:
lim x^3-3*(x^2)-24*x+26/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существует
lim x^3-3*(x^2)-24*x+26/x, x->-oo = oo, значит наклонной асимптоты слева не существует
Четность и нечетность функции:
Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:
x^3-3*(x^2)-24*x+26 = -x^3 - 3*x^2 + 24*x + 26 - Нет
x^3-3*(x^2)-24*x+26 = -(-x^3 - 3*x^2 + 24*x + 26) - Нет
значит, функция не является ни четной ни нечетной