1.1.4. В выпуклом пятиугольнике ABCDE проведем диагонали (их пять: AC, AD, BD, BE, CE). Отметим внутри 5-угольника произвольную точку Q, соединим её с вершинами A, B, C, D и E. При этом точка Q может 1) не лежать ни на одной из диагоналей; 2) лежать на одной из диагоналей; 3) быть точкой пересечения двух диагоналей.
Рассмотрим сначала первый случай.
Из треугольника ACQ: AC < AQ + CQ.
Из треугольника ADQ: AD < AQ + DQ.
Из треугольника BDQ: BD < BQ + DQ.
Из треугольника BEQ: BE < BQ + EQ.
Из треугольника CEQ: CE < CQ + EQ.
Сложив почленно левые и правые части всех пяти неравенств, получим: AC+AD+BD+BE+CE = 2(AQ+BQ+CQ+DQ+EQ)⇔
⇔AQ+BQ+CQ+DQ+EQ = 1/2(AC+AD+BD+BE+CE), что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим те два случая, когда точка Q лежит на одной из диагоналей (предположим, на АС). В этом случае вместо неравенства AC < AQ + CQ мы запишем равенство AC = AQ + CQ. (Если точка Q принадлежит сразу двум диагоналям, в равенство обращаются два неравенства из трех.) В любом случае при почленном суммировании пяти выражений, записанных для диагоналей, получаем строгое неравенство
AQ+BQ+CQ+DQ+EQ = 1/2(AC+AD+BD+BE+CE).
1.1.5. Сумма углов выпуклого 4-угольника = 360°, отсюда сумма углов А и В равна 360°- (150°+130°)=360°-180°=80°.
Биссектриса делит угол на 2 равных угла, значит, в треугольнике АВQ сумма углов ABQ и BAQ равна 80°/2=40°. Значит, третий угол этого треугольника равен 180°-40°=140°. Ответ: ∠AQB = 14°.