1) Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию ...

1. Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной. Также стоит заметить что это уравнение с разделяющимися переменными.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}= y\cos x\,\,\, \Rightarrow\,\,\, \frac{dy}{y}= \cos x dx\,\, \Rightarrow\,\,\, \int\limits \frac{dy}{y}= \int\limits {\cos x} \, dx$
$\ln|y|=\sin x+C$ - общий интеграл

Найдем теперь частное решение, подставив х=0 и у = 1 в общий интеграл
$\ln|1|=\sin 0+C;\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\, C=0$

Т. е. имеем частное решение: $\ln|y|=\sin x$

2. Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем характеристическое уравнение вида:
$k^2-2k+10=0\\ \\ (k-1)^2+9=0\\ \\ k_{1,2}=1\pm3i$

Общее решение однородного уравнения: $y=e^x(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)$