«Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными»

Question 1

Question 2

Решите задачу:

$1)\; \; y'=x^2y-x^2\\\\\frac{dy}{dx}=x^2(y-1)\; ,\; \; \int \frac{dy}{y-1} =\int x^2\, dx\\\\ln|y-1|= \frac{x^3}{3}+C\\\\2)\; \; sin^2y\cdot ctgx\, dx+ cosx\cdot tgy\, dy=0\; |:(sin^2y\cdot cosx)\\\\\int \frac{ctgx\, dx}{cosx}=-\int \frac{tgy\, dy}{sin^2y}\; \; ,\; \; \int \frac{dx}{sinx}=-\int \frac{dy}{siny\, cosy}\\\\ln|tg\frac{x}{2}|=-\int \frac{2dy}{sin2y}\; ,\; \; ln|tg\frac{x}{2}|=-ln|tgy|+lnC\\\\tg\frac{x}{2}=\frac{C}{tgy}$

$\star \int \frac{dx}{sinx}=[t=tg\frac{x}{2},\; sinx=\frac{2t}{1+t^2},\; dx= \frac{2\, dt}{1+t^2}\; ]=\int \frac{dt}{t}=\\\\=ln|t|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C\; \; \star$

$3)\; \; y'\sqrt{x}=1+y^2\; ,\; \; \; y(4)=0\\\\ \frac{dy}{dx}= \frac{1+y^2}{\sqrt{x}} \; ,\; \; \int \frac{dy}{1+y^2} =\int \frac{dx}{\sqrt{x} } \\\\arctg\, y=2\sqrt{x}+C\\\\arctg\, 0=2\sqrt4+C\; \; \to \; \; \; C=0-4=-4\\\\arctg\, y=2\sqrt{x}-4\; \; \; -\; \; otvet$

$4)\; \; (1+x)y\, dx+(1-y)x\, dy=0\; ,\; \; \; y(1)=1\\\\ \frac{1+x}{x}dx+ \frac{1-y}{y}dy =0\; ,\; \; \; \int \frac{1+x}{x}dx=- \frac{1-y}{y} dy\\\\\int (\frac{1}{x}+1)dx=-\int (\frac{1}{y} -1)dy\\\\ln|x|+x=-ln|y|+y+C\\\\ln1+1=-ln1+1+C\\\\1=1+C\; \; \to \; \; C=0\\\\ln|x|+x=-ln|y|+y\quad -\; \; otvet$