При каких A, B,и C справедливо равенство:x+3/x^2 (x-1)=A/x+B/x^2+C/x-1?

Надо в правой части привести дроби к общему знаменателю.Общий знаменатель будет равен x^2(x-1), то есть такому же выражению, которое стоит в знаменателе
исходной дроби.В итоге получим равенство двух дробей с равными знаменателями.
Остаётся приравнять числители.
$\frac{x+3}{x^2(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}=\frac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}{x^2(x-1)}=\\=\frac{Ax^2-Ax+Bx-B+Cx^2}{x^2(x-1)}=\frac{(A+C)x^2+(B-A)x-B}{x^2(x-1)}\\\\x+3=(A+B)x^2+(B-A)x-B$
Получили равенство двух многочленов.Один из них с числовыми коэффициентами, а другой с буквенными.Два многочлена равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях многочлена равны. Приравниваем коэффициенты при х^2, x и свободные члены ( которые являются коэффициентами при нулевой степени х).
$x^2 \;\;|\;A+C=0\\x\;\;\;|\;B-A=1\\x^0\;\;|\;-B=3\\\to B= -3,\\-3-A=1,\;\;A= -4\\-4+C=0,\;\;C=4\\\frac{x+3}{x^2(x-1)}=-\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x-1}$