![[tex] \frac{x^2-3x-6}{x} - \frac{8x}{x^2-3x-6} =-2 \\ \frac{(x^2-3x-6)^2-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=-2 \\ \frac{(x^2-3x-6)^2-8x^2+2x(x^2-3x-6)}{x(x^2-3x-6)} =0 \\ \frac{(x^2-3x-6)(x^2-3x-6+2x)-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{(x^2-3x-6)(x^2-x-6)-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{x^4-4x^3-9x^2+24x+36-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{x^4-4x^3-17x^2+24x+36}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{(x+1)(x-2)(x+3)(x-6)}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \\ \left \{ {{x=-1, x=2,x=-3,x=6} \atop { x\neq 0, x\neq\frac{3+/- \sqrt{33} }{2} } }} \right. \\](https://tex.z-dn.net/?f=%5Btex%5D+%5Cfrac%7Bx%5E2-3x-6%7D%7Bx%7D+-+%5Cfrac%7B8x%7D%7Bx%5E2-3x-6%7D+%3D-2+%5C%5C+%5Cfrac%7B%28x%5E2-3x-6%29%5E2-8x%5E2%7D%7Bx%28x%5E2-3x-6%29%7D%3D-2+%5C%5C+%5Cfrac%7B%28x%5E2-3x-6%29%5E2-8x%5E2%2B2x%28x%5E2-3x-6%29%7D%7Bx%28x%5E2-3x-6%29%7D+%3D0+%5C%5C+%5Cfrac%7B%28x%5E2-3x-6%29%28x%5E2-3x-6%2B2x%29-8x%5E2%7D%7Bx%28x%5E2-3x-6%29%7D%3D0+%5C%5C+%5Cfrac%7B%28x%5E2-3x-6%29%28x%5E2-x-6%29-8x%5E2%7D%7Bx%28x%5E2-3x-6%29%7D%3D0+%5C%5C+%5Cfrac%7Bx%5E4-4x%5E3-9x%5E2%2B24x%2B36-8x%5E2%7D%7Bx%28x%5E2-3x-6%29%7D%3D0+%5C%5C+%5Cfrac%7Bx%5E4-4x%5E3-17x%5E2%2B24x%2B36%7D%7Bx%28x%5E2-3x-6%29%7D%3D0+%5C%5C+%5Cfrac%7B%28x%2B1%29%28x-2%29%28x%2B3%29%28x-6%29%7D%7Bx%28x%5E2-3x-6%29%7D%3D0+%5C%5C++%5C%5C+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%3D-1%2C+x%3D2%2Cx%3D-3%2Cx%3D6%7D+%5Catop+%7B+x%5Cneq+0%2C+x%5Cneq%5Cfrac%7B3%2B%2F-+%5Csqrt%7B33%7D+%7D%7B2%7D+%7D+%7D%7D+%5Cright.+%5C%5C+ "[tex] \frac{x^2-3x-6}{x} - \frac{8x}{x^2-3x-6} =-2 \\ \frac{(x^2-3x-6)^2-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=-2 \\ \frac{(x^2-3x-6)^2-8x^2+2x(x^2-3x-6)}{x(x^2-3x-6)} =0 \\ \frac{(x^2-3x-6)(x^2-3x-6+2x)-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{(x^2-3x-6)(x^2-x-6)-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{x^4-4x^3-9x^2+24x+36-8x^2}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{x^4-4x^3-17x^2+24x+36}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \frac{(x+1)(x-2)(x+3)(x-6)}{x(x^2-3x-6)}=0 \\ \\ \left \{ {{x=-1, x=2,x=-3,x=6} \atop { x\neq 0, x\neq\frac{3+/- \sqrt{33} }{2} } }} \right. \\")
[/tex]
А теперь я расскажу, как мы получили из 
в (x+1)(x-2)(x+3)(x-6)
наткнулся на теорему Горнера, в котором легче складывать целые числа:
Обратим внимания на 36 без каких то х у з, и выпишем числа, на которое делится данное число (+-1, +-2, +-3,+-4,+-6,+-9,+-12,+-36)
Из данных чиел нам подходит -1, значит если подставить в х, мы получим 0
1+4-17-24+36=0 Значит это функция (х+1) Знак меняется на противоположный... (x-(-1))
Выпишем числа из этой функции x^4-4x^3-17x^2+24x+36
Если первая цыфра 1 или другая какая-нибудь, скидываем
1 -4 -17 24 36
-1 1 -5 -12 36 0
-1*1+(-4)=-5
-1*(-5)+(-17)=5-17=-12
-1*(-12)+24=36
-1*36+36=0
-1*36+36=0 Обязательно, чтобы оно равнялось нулю
И мы получаем следующий пример:
(x+1)(x^3-5x^2-12x+36)
Делаем аналогично:
x^3-5x^2-12x+36
36 (+-1, +-2, +-3,+-4,+-6,+-9,+-12,+-36)
Нам подходит 2 (x-2)
8-20-24+36=8-20+12=0
1 -5 -12 36
2 1 -3 -18 0
2*1+(-5)=-3
2*(-3)+(-12)=-18
2*(-18)+36=-36+36=0
(x-2)(x^2-3x-18)
x^2-3x-18 ищем за теоремою Фиета
x1+x2=3
x1*x2=-18
x1=6, x2=-3
a(x-x1)(x-x2)
(x+3)(x-6)
И в общем мы получаем (x+1)(x-2)(x+3)(x-6)