Найти область значений функции y = cos(x)/((cos(x/2)-sin(x/2))

0 голосов
34 просмотров

Найти область значений функции

y = cos(x)/((cos(x/2)-sin(x/2))

Математика (262 баллов) | 34 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Представим данную функцию в виде y= \dfrac{\cos(2 \cdot\frac{x}{2}) }{\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} }

используя формулу \cos2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha, получим

       y= \dfrac{(\cos \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2} )(\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} )}{\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} }

Разделим числитель и знаменатель правой части на \cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} \ne0. Будем иметь y=\cos \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2}

Теперь умножим и разделим правую часть на \sqrt{2}. Получим

y= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} +\sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} )= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} \cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{x}{2} \sin \frac{\pi}{4})

Применяя к правой части этой функции формулу \cos( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta, получим y= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})

Так как -1 \leq \cos( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \leq 1, то, умножив неравенства на \sqrt{2}, - \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \cos( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}

Значит, область значений данной функции D(y)=[-\sqrt{2} ;\sqrt{2} \,]
0 голосов

Y=(cos²(x/2)-sin²(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))=
=(cos(x/2)+sin(x/2))(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2)=
=cos(x/2)+sin(x/2)=sin(π/2-(x/2))+sin(x/2)=
=2sinπ/4cos(π/4-(x/2))=2*√2/2cos(π/4-(x/2))=√2cos(π/4-(x/2)
E(y)∈√2*[-1;1]=[-√2;√2]
Ответ [-√2;√2]

(750k баллов)
Похожие задачи