Б)
Для удобства пронумеруем монеты от 1
до 12.
Первым взвешиванием сравним две группы по четыре монеты:
1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7,
8.
Случай I: первое взвешивание показало равенство
Если
весы покажут равенство, то фальшивая монета находится среди оставшихся четырёх
монет. Тогда вторым взвешиванием мы сравним три монеты 9, 10,
11 с заведомо настоящими 1, 2, 3.
Если и в
этот раз весы покажут равенство, то фальшивка - монета номер 12, и
третьим взвешиванием мы сравним её с настоящей и узнаем, легче она или тяжелее.
Если же три монеты 9, 10, 11 оказались легче
(тяжелее), то третьим взвешиванием сравним друг с другом монеты 9 и
10. Если они равны, то монета 11 - фальшивая, и она легче
(тяжелее) настоящей. Иначе заключаем, что из монет 9 и 10
фальшивая та, которая легче (тяжелее) другой.
Случай II: первое
взвешивание показало неравенство
Теперь предположим, что первое
взвешивание показало, что монеты 1, 2, 3, 4 тяжелее,
чем 5, 6, 7, 8. Случай, когда первые монеты
оказались легче, симметричен.
Во втором взвешивании на одну чашу поместим
монеты 1, 2, 5, а на другую - монеты 3, 4,
9 (монета 9 - заведомо настоящая).
Если второе взвешивание
показало равенство, то у нас остаются три монеты 6, 7, 8,
одна и которых легче остальных. Третьим взвешиванием сравниваем монеты 6
и 7. Если они равны, то монета 8 легче остальных. Иначе фальшивой
является та, которая легче другой.
Теперь предположим, что во втором
взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались тяжелее, чем 3,
4, 9. Это означает, что фальшивка находится среди монет 1 и
2, причём она тяжелее остальных. Сравнив в третьем взвешивании эти две
монеты друг с другом, мы определим фальшивую.
Предположим, что во втором
взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались легче, чем 3,
4, 9. Это означает, что либо монета 5 легче остальных, либо
одна из монет 3 и 4 тяжелее остальных. Третьим взвешиванием мы
сравним друг с другом монеты 3 и 4 и найдём ответ.а) Если за 3 можно, то можно и за 4