Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Пусть наши член равны
$a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}....a_{n}$
$1.$ по первому условию , сумма равна
$\frac{a_{1}+a_{2}+...a_{13}}{a_{n-12}...+a_{n-1}+a_{n}}=0.5$
это же условие можно переписать в виде
$S_{13}=(a_{1}+6d)*13 \\$
а последний 13 можно в виде
$S_{13}'=13(a_{1}+d(n-7))$
по условию следует что
$\frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2}$
$2.$ По второму условию задачи следует что
$S_{n}-(a_{1}+a_{2}+a_{3})$
ее можно переписать в виде
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d)$
а последние без трех можно переписать в виде
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6))$
заметим то что
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn+2d+2a_{1})$
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn-4d+2a_{1})$
по условию получаем
$\frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3}$

получаем систему уравнений
$\frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2}\\ \frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3}\\ \\ 2(a_{1}+6d)=a_{1}+dn-7d\\ 3(dn+2d+2a_{1})=4(dn-4d+2a_{1})\\ \\ a_{1}+19d=dn\\ 22d-2a_{1}=dn\\ \\ a_{1}+19d=22d-2a_{1}\\ 3a_{1}=3d\\ a_{1}=d\\ \\ \frac{7d}{d+dn-7d}=0.5\\ \frac{dn+4d}{dn-2d}=\frac{4}{3}\\\\ 7d=0.5d+0.5dn-3.5d\\ 3dn+12d=4dn-8d\\\\ n=20$
Ответ $20$

Матов_zn (224k баллов) 14 Март, 18