Преобразуем эти уравнения
{ y = | |x| - 2|
{ y = ax + 5a - 1
1) Если x < 0, то |x| = -x, тогда y = |-x - 2| = |x + 2|
1a) Если x < -2, то y = |x + 2| = -x - 2
Подставляем во 2 уравнение
-x - 2 = ax + 5a - 1
-5a - 1 = ax + x = x(a + 1)
x = (-5a - 1)/(a + 1) < -2
(-5a - 1)/(a + 1) + 2 < 0
(-5a - 1 + 2a + 2)/(a + 1) < 0
(-3a + 1)/(a + 1) < 0
Получаем
a ∈ (-oo; -1) U (1/3; +oo) - в этой области есть решение:
x = (-5a - 1)/(a + 1)
y = -x - 2 = (5a + 1)/(a + 1) - 2 = (5a + 1 - 2a - 2)/(a + 1) = (3a - 1)/(a + 1)
1b) Если x ∈ [-2; 0), то y = |-x - 2| = |x + 2| = x + 2
x + 2 = ax + 5a - 1
-5a + 3 = x(a - 1)
x = (-5a + 3)/(a - 1) ∈ [-2; 0)
{ (-5a + 3)/(a - 1) >= -2
{ (-5a + 3)/(a - 1) < 0
Переносим все налево
{ (-5a + 3)/(a - 1) + 2 = (-5a + 3 + 2a - 2)/(a - 1) = (-3a + 1)/(a - 1) >= 0
{ (-5a + 3)/(a - 1) < 0
Решаем
{ a ∈ [1/3; 1)
{ a ∈ (-oo; 3/5) U (1; +oo)
Получаем
a ∈ [1/3; 3/5) - в этой области есть решение:
x = (-5a + 3)/(a - 1)
y = x + 2 = (-5a + 3)/(a - 1) + 2 = (-5a + 3 + 2a - 2)/(a - 1) = (-3a + 1)/(a - 1)
2) Если x >= 0, то |x| = x; тогда y = |x - 2|
2a) Если x ∈ [0; 2), то y = |x - 2| = 2 - x
2 - x = ax + 5a - 1
-5a + 3 = ax + x = x(a + 1)
x = (-5a + 3)/(a + 1) ∈ [0; 2)
{ (-5a + 3)/(a + 1) >= 0
{ (-5a + 3)/(a + 1) < 2
Переносим все налево
{ (-5a + 3)/(a + 1) >= 0
{ (-5a + 3)/(a + 1) - 2 = (-5a + 3 - 2a - 2)/(a + 1) = (-7a + 1)/(a + 1) < 0
Решаем
{ a ∈ (-1; 3/5]
{ a ∈ (-oo; -1) U (1/7; +oo)
Получаем
a ∈ (1/7; 3/5] - в этой области есть решение
x = (-5a + 3)/(a + 1)
y = 2 - x = 2 - (-5a + 3)/(a + 1) = (2a + 2 + 5a - 3)/(a + 1) = (7a - 1)/(a + 1)
2b) Если x >= 2, то y = |x - 2| = x - 2
x - 2 = ax + 5a - 1
-5a - 1 = ax - x = x(a - 1)
x = (-5a - 1)/(a - 1) >= 2
(-5a - 1)/(a - 1) - 2 >= 0
(-5a - 1 - 2a + 2)/(a - 1) >= 0
(-7a + 1)/(a - 1) >= 0
Получаем
a ∈ [1/7; 1) - в этой области есть решение
x = (-5a - 1)/(a - 1)
y = x - 2 = (-5a - 1)/(a - 1) - 2 = (-5a - 1 - 2a + 2)/(a - 1) = (-7a + 1)/(a - 1)
Получаем следующее:
Если a ∈ (-oo; -1) U (1/3; +oo), то x = (-5a - 1)/(a + 1); y = (3a - 1)/(a + 1)
Если a ∈ [1/3; 3/5), то x = (-5a + 3)/(a - 1); y = (-3a + 1)/(a - 1)
Если a ∈ (1/7; 3/5], то x = (-5a + 3)/(a + 1); y = (7a - 1)/(a + 1)
Если a ∈ [1/7; 1), то x = (-5a - 1)/(a - 1); y = (-7a + 1)/(a - 1)
Наименьшее положительное значение а, при котором промежутки не пересекаются, и система имеет одно решение:
a0 = 1/7.