В этой задаче надо решить 3 треугольника:
АВС, АСД и АВД.
Треугольник АВС примем в прямоугольной системе координат точкой А в начало и точкой В - по оси Ох.
А(0; 0), В(7; 0).
Из первого по теореме косинусов находим косинусы углов А, В и С.
Отрезки СД и ВД по заданию равны:
СД = 6*(7/8) = 21/4 = 5,25.
ВД = 6*(1/8) = 3/4 = 0,75.
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС) =
0,52381.
A =
1,019479
радиан
=
58,41186
градусов.
cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС) =
0,904762.
B =
0,439976
радиан
=
25,20877
градусов.
cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС) =
-0,111111 = -1/9.
C =
1,682137
радиан
=
96,37937
градусов.
Хс = АС*cos A = 3*0,52381 = 1,571429.
Yc =AC*sin A = 3*√(1-0,52381²) = 3*0,851835 = 2,555506.
Сторона АД = √(3²+5,25²-2*3*5,25) = 6,3294945.
Аналогично находим координаты точки Д.
Хд = 6,321429.
Yд = 0,319438.
Находим координаты центров О1 и О2 окружностей, вписанных в треугольники АСД и АВД.
Хо1 = (CD*Ха+АС*Хd+АD*Хс)/ Р = 1,982965.
Уо1 = (CD*Уа+АС*Yd+АD*Ус)/ Р = 1,17517.
Хо2 = (ВD*Ха+АB*Хd+АD*Хb)/ Р = 6,28975.
Уо2 = (ВD*Уа+АB*Yd+АD*Уb)/ Р = 0,158817.
Здесь Р - периметр треугольника.
Находим площади треугольников по формуле Герона:
S(ACD) = 7,826238.
S(ABD) = 1,11803.
Находим радиусы вписанных окружностей:
r1 = S(ACD)/p = 7,826238/
7,2897472 = 1,073595.
r2 = S(ABD)/p = 1,11803/
7,039747225 = 0,158817.
Теперь находим длину L отрезка О1О2:
L = √(Хо2-Хо1)²+(Уо2-Уо1)²) = 4,425080879.
По Пифагору находим:
EF = √(L²-(r1+r2)²) = 4,25.
Скачать вложение Adobe Acrobat (PDF)