task/24836913
---.---.---.---.---
Дан острый угол с вершиной в точке О и точка M внутри этого угла, не лежащая на биссектрисе этого угла. Найти на сторонах угла точки A и B такие, что периметр треугольника MAB- наименьший (метод симметрии)
----------------------------------------
Решение :
Условия "
не лежащая на биссектрисе этого угла" не существенно
Построим точки M₁ и M₂ симметричные M относительно сторон угла (a и b соответственно ). Прямая M₁M₂ пересекает
стороны a и b угла O в точках A и B .
ΔMAB искомый.
Действительно,периметр ΔMAB :
P=MA+AB + MB =M₁A+AB + M₂B
=M₁M₂.
Периметр же любого другого треугольника, например, ΔMXY :
P₁=MX+AB+ MY
= M₁X+AB + M₂Y || длина ломаной M₁XYM₂||
>M₁M₂= P.
рисунок см приложение
