Помогите пожалуйста доказать неравенство! Я просто не очень силён в неравенства, если не...

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \geq 8abc \; ,\; \; \; \; \; a,\; b,\; c\; \ \textgreater \ 0$

Воспользуемся известным неравенством Коши:

$x+y \geq 2\sqrt{xy}\; ,\; \; \; xy \geq 0\\\\Esli\; \; x=1\; ,\; \; y=a^2\; \; \Rightarrow \; \; 1+a^2 \geq 2\sqrt{1\cdot a^2}\; ,\; \; \; 1+a^2\geq 2a$

Аналогично, $1+b^2\geq 2b\; ,\; \; 1+c^2\geq 2c$ .
Перемножим три последних неравенства (они с одинаковыми знаками):

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \geq 2a\cdot 2b\cdot 2c\\\\(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \geq 8abc$