Task/24988987
-------------------
Решить систему уравнений { tgx*tgy =5 -2√6 , x+y =π/4 .
-------------
решение :
{ x+y =π/4 , tgx*tgy =5 -2√6.⇔ { tg(x+y) =tg(π/4),tgx*tgy =5 2√6⇔
{ (tgx+tgy) / (1-tgx*tgy) =1 , tgx*tgy =5 -2√6 .⇔
{ tgx+tgy=1-tgx*tgy, tgx*tgy =5 2√6 .⇔{ tgx+tgy=2√6 - 4, tgx*tgy =5 2√6 .
tgx и tgy можно рассматривать как корни квадратного уравнения
t² -(2√6 -4)t +5 -2√6 =0 (по обратной теореме Виета).
t² -2(√6 -2)t + 5 -2√6 =0 ; D/4 =(√6 -2)² -(5-2√6) =5 +2√6 =(√3 +√2)²
t₁= √6 -2 -√3 -√2 ;
t₂= √6 -2 +√3 +√2 ;
a)
{ tgx = t₁ , tgx =t₂ .
{ tgx =√6 -2 -√3 -√2 , tgy =√6 -2 +√3 +√2 .⇒
{ x =arctg(√6 -2 -√3 -√2 ) +πn, y =arctg(√6 -2 +√3 +√2) +πn ; n ∉ ℤ .
б)
{ tgx = t₂ ,tgx = t₁.
{ tgx =√6 -2 +√3 +√2 , tgy =√6 -2 -√3 -√2 .⇒
{ x =arctg(√6 -2 +√3 +√2 ) +πn, y =arctg(√6 -2 -√3 -√2 ) +πn ; n ∉ ℤ .