Нужно поставить дополнительный заряд q0 не нарушая равновесиеОтвет от q на а расстояние .а от -4q на 2а расстояние
Сначала нужно определиться, какое равновесие имеется в виду. Ведь на картинке два разноимённых заряда, которые по идее должны притягиваться друг к другу - и никакого равновесия не будет!Поэтому попробуем два варианта. В первом случае (попроще) будем считать, что нужно поставить некий заряд q0 так, чтобы он никуда не двигался, т.е. действующие на него силы от обоих имеющихся зарядов были одинаковы.Кстати, ничего не сказано, нужно ставить заряд на оси, соединяющей два имеющихся, или вне её! Будем считать, что на оси.Если этот заряд q0 положителен, то он будет притягиваться к -4q и отталкиваться от q, если отрицателен - наоборот. В любом случае, если поставить его между имеющимися, "равновесия" не будет: в одну сторону он будет притягиваться одним и туда же отталкиваться другим. Значит нужно поставить его снаружи - осталось понять, с какой стороны.Очевидно, что заряд в -4q действует с большей силой, чем q. Значит точка уравнивания сил должна быть дальше от него, чем от q - значит q0 не может стоять справа, а только слева. Пусть q0 стоит на оси слева от q на расстоянии х. Тогда действующие на него силы:F+ = k*q*q0/x^2 - с такой силой его отталкивает q;F- = k*4q*q0/(x+a)^2 - с такой силой его притягивает -4q. Приравняем эти силы:k*q*q0/x^2 = k*4q*q0/(x+a)^2Сократим:1/x^2 = 4/(x+a)^2Перепишем:4х^2 = x^2 + 2ax + a^23x^2 - 2ax - a^2 = 0Решаем квадратное уравнение относительно х, оставляя а как параметр. Дискриминант:D = (-2a)^2 - 4*3*(-a^2) = 4a^2 + 12a^2 = 16a^2 = (4a)^2Корни:x = (2a +-(4a))/6 = {a; -a/3}Отрицательное значение, в нашем случае, скорее всего означает, что точка находится внутри исходного интервала - а нас такой вариант не устраивает! Это будет точка, в которой силы притяжения и отталкивания равны по модулю, но однонаправлены. Значит искомая нами точка лежит слева от q на расстоянии а (и соответственно от -4q на расстоянии 2а) - сошлось с ответом.
Теперь второй вариант условия. Предположим, что под словом "равновесие" предполагается, что добавление заряда q0 должно устанавливать равновесие в системе - т.е. равнодействующая сил у каждого заряда должна быть равна 0. Это посложнее.Довольно очевидно, что добавлять заряд надо так, чтобы в итоге по краям находились одноимённые заряды, а в центре - противоимённый им. Т.е. если q0 положителен - его надо ставить справа, а если отрицателен - то слева. Рассмотрим оба варианта.Для положительного q0, стоящего справа от -4q на расстоянии х условие равновесия:k*4q*q0/x^2 = k*q*q0/(x+a)^2 В этой ситуации для заряда q равновесие:k*q*4q/a^2 = k*q*q0/(x+a)^2И для лежащего в центре -4q:k*q*4q/a^2 = k*4q*q0/x^2То есть по сути мы получили одно большое равенство:k*q*4q/a^2 = k*4q*q0/x^2 = k*q*q0/(x+a)^2Сокращаем:4q/a^2 = 4*q0/x^2 = q0/(x+a)^2Рассмотрим правое из равенств:4*q0/x^2 = q0/(x+a)^24/x^2 = 1/(x+a)^2x^2 = 4(x+a)^2x^2 = 4x^2 + 8ax + 4a^23x^2 + 8ax + 4a^2 = 0D = (8a)^2 - 4*3*4a^2 = 64a^2 - 48a^2 = 16a^2 = (4a)^2x = (-8a+-4a)/6 = {-2а/3; -2а} - отрицательные решения нас не устраивают, как мы выяснили, значит этот случай не подходит - да и это логично, ведь если более сильный заряд более близко, то он точно будет действовать с большей силой, чем слабый.
Теперь рассматриваем всё для отрицательного q0, стоящего слева от q на расстоянии х:k*q*q0/x^2 = k*q0*4q/(a+х)^2Для заряда q:k*q*q0/x^2 = k*q*4q/a^2И для заряда -4q:k*q0*4q/(a+x)^2 = k*q*4q/a^2Из первого уравнения:k*q*q0/x^2 = k*q0*4q/(a+х)^21/x^2 = 4/(a+х)^24x^2 = x^2 + 2ax + a^23x^2 - 2ax - a^2 = 0D = (-2a)^2 - 4*3*(-a^2) = 4a^2 + 12a^2 = 16a^2 = (4a)^2x = (2a+-4a)/6 = {a; -a/3}Отрицательное отбрасываем, есть решение x=a. Тогда, правда, из других уравнений получается:k*q*q0/x^2 = k*q*4q/a^2k*q*q0/a^2 = k*q*4q/a^2q0 = 4q - то есть допустимо это только для q0 = 4qТакие дела.