Задача и типового расчета: производные

Отстойник представляет собой прямоугольную призму
объем которой равен 4000л
вспомним как находится объем призмы

$\displaystyle V=So*h$

где So площадь основания, h- высота

в основании квадрат со стороной а
тогда So=a²

и тогда запишем объем

$\displaystyle V=a^2h=4000$

теперь внутреннюю поверхность выложили плиткой. Значит вспомним как находится площадь боковой поверхности прямой призмы добавим площадь дна (только у нас нет крышки)

$\displaystyle S=So+4ah=a^2+4ah$

теперь у нас есть две формулы и два неизвестных.
выразим из первой формулы высоту

$\displaystyle h= \frac{4000}{a^2}$

и подставим во вторую

$\displaystyle S=a^2+4a \frac{4000}{a^2}=a^2+ \frac{16000}{a}$

теперь мы получили функцию от одной переменной и нужно найти при каких а, ее значение будет минимальной

найдем производную

$\displaystyle S`(a)=(a^2+ \frac{16000}{a})`=2a- \frac{16000}{a^2}=2( \frac{a^3-8000}{a^2})$

найдем нули - критические точки

$\displaystyle a^3-8000=0 a^3=8000 a=20$

и не забудем что а≠0

__+_______-_______+_____
0 20

Значит а=20 точка минимума

отсюда h=4000/20²=4000/400=10

Значит при стороне основания 20дм и высотой 10 дм

объем будет 20²*10=400*10=4000 дм³=4000л
и площадь для облицовки минимальной