Найдите произведение корней уравнение Решите кто может пожалуйста

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Здесь возвратное уравнение 4 степени
общий вид:
$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a = 0$
ОДЗ: (это также легко проверить подстановкой) $x \neq 0$
решаются такие уравнения методом деления на $x^2$ и последующим вводом новой переменной:
$\frac{2x^4}{x^2} + \frac{5x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 2x^2+ 5x+1+ \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$
сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:
$2x^2 + \frac{2}{x^2} + 5x+ \frac{5}{x} +1= 0 = 2(x^2+ \frac{1}{x^2} )+5(x+ \frac{1}{x}) +1 = 0$
Вводим новую переменную:
$x+ \frac{1}{x} = a$
$(x+ \frac{1}{x} )^2 = a^2-2$
уравнение принимает вид квадратного уравнения:
$2(a^2-2) +5a+1 = 2a^2+5a+(1-4) = 2a^2+5a-3 = 0$
$D = 25+24 = 7^2$
$a _{1} = \frac{-5+7}{4} = \frac{1}{2}$
$a _{2} = \frac{-5-7}{4} = -3$
обратная замена:
$x+ \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$
или
$x+ \frac{1}{x} = -3$
решаем 1ое уравнение:
$x+ \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$
$x+ \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = 0$
приведя к общему знаменателю, получаем:
$\frac{2x^2-x+2}{2x} = 0$
$x \neq 0$
$2x^2-x+2 = 0$
дискриминант этого уравнения отрицателен ⇒ уравнения не имеет решений в действительных числах.
Решаем второе уравнение:
$x+ \frac{1}{x} = -3$
$x+ \frac{1}{x} -3 = 0$
$\frac{x^2+3x+1}{x} = 0$
х, как мы условились в самом начале , опять таки $\neq$ 0
$x^2+3x+1 = 0$
$D = 9 - 4 = \sqrt{5}$
$x_{1} = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$
$x_{2} = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

Нам нужно произведение корней, следовательно:
$\frac{-3+\sqrt{5}}{2} * \frac{-3-\sqrt{5}}{2} =$
$\frac{9-3 \sqrt{5}+ 3 \sqrt{5} -5}{4} = 1$

drwnd_zn (15.5k баллов) 15 Май, 18

sedinalana_zn · Answer 1 · 2018-05-15T15:16:16+0000

2x^4+5x³+x²+5x+2=0 разделим на х²≠0
2х²+5х+1+5/х+2/х²=0
(2х²+2/х²)+(5х+5/х)+1=0
2(х²+1/х²)+5(х+1/х)+1=0
х²+1/х²=(х+1/х)²-2
х+1/х=а⇒(x+1/x)²=a²-2
2(a²-2)+5a+1=0
2а²-4+5а+1=0
2a²+5a-3=0
D=24-4*2*(-3)=25+24=49
√D=7
a1=(-5-7)/4=-3⇒x+1/x=-3
x²+3x+1=0
D=9-4=5⇒по теореме Виета х1+х2=-3 и х1*х2=1
a2=(-5+7)/4=1⇒x+1/x=1/2
2x²-x+2=0
D=1-16=-15<0 нет решения<br>Ответ 1