Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: под корнем х^2+5х+5=х+2

Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x^2+5x+5} )^2=(x+2)^2 \\x^2+5x+5=x^2+4x+4 \\5x+5=4x+4 \\x=4-5=-1$
но
$x^2+5x+5 \geq 0$ и $x+2 \geq 0$ - это все возможный промежуток значений корня.
решаем данные неравенства:
$x^2+5x+5 \geq 0 \\D=5 \\x_1= \frac{-5+\sqrt{5}}{2} \\x_2= \frac{-5-\sqrt{5}}{2}$
$\sqrt{5}$ ≈2,236
значит x1≈-1,382 и x2≈-3,618
определяем знаки на (-oo;-3,618]
берем -4
16-20+5 - знак +
на [-3,618;-1,382]
берем -2
4-10+5 - знак -
на [-1,382;+oo)
берем 0
0+0+5 - знак +
значит решением данного неравенства является промежуток (-oo;-3,618] и [-1,382;+oo)
$x+2 \geq 0 \\x \geq -2$
x∈[-2;+oo)
объединяя решения этих неравенств получим:
x∈[-1,382;+oo) или [ $\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$ ;+oo) - это и есть промежуток возможного корня уравнения:
-1 входит в данный интервал значит является корнем уравнения
Ответ: x∈[ $\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$ ;+oo)