В дивизионе меньше тысячи солдат, составляющих три одинаковые по численности батареи....

Question

В дивизионе меньше тысячи солдат, составляющих три одинаковые по численности батареи. Майор хочет построить их всех на плацу в форме прямоугольника. Сначала он хотел поставить по 17 солдат в каждой шеренге, но для этого не хватило одного солдата. Тогда он попытался поставить по 13 солдат в каждой шеренге, но в этот раз один солдат оказался лишним. Сколько солдат в одной батарее?

Answer 1

17*м+1=13*н-1<1000<br>17*м+2=13*н
Справа число заканчивается на 3,6,9,2,5
Слева на 9,6,3,0,7,4,1,8,5,2.  Значит м -заканчивается на 1,2,3,9 или 0
Кроме того число солдат кратно 3.
17=3*5+2. Значит 2м+1 делится на 3.
м=19 н=25
Число солдат 324
или м=58 н=76
Число солдат 987


Решение верное, но туповатое (без калькулятора не обойтись)).

Попробуем иначе. 17=15+2 13=15-2
15м+2м+2=15н-2н
15(м-н)+2(м+н)+2=0
2(м+н+1)=15*(н-м)
2/15=(н-м)/(н+м+1)
(2м+1)/(н+м+1)=13/15
2м+1 кратно 3 и 13. Т.е. делится на 39.
Число м -двузначное, меньше 60. Теперь уже увидеть 2м+1=39 или 2м+1=117 совсем просто (всего два нечетных числа кратных 39).
Итак число солдат в дивизионе 324, а в батарее : 108.
Или число солдат 987, а в батарее 329
Вероятнее второе (дивизион все же)
Ответ: 329 солдат в батарее. /как вариант : 108/

.

Comments

Да, добавить но к 17*м, а не к числу человек.

---

Это верно, можно решить через систему уравнений.

---

выражая одно через другое. Но подставлять все рано придется, чтобы опять же получить целое число.

---

Я ее вчера решил, решение длинное, но с ответом сошлось.

---

Коллега, но , ведь я предложил короткое решение, основанное на том, что 2м+1 делится на 39 и меньше 120. Нечетных таких всего 2 : 39 и 117.

---

Но если проверить ответ 324 условием задачи. Если расставил по 17 человек и одного не хватило, то 324+1 должно делиться без остатка на 17.

---

А если по 13, и человек лишний, то 324-1 должно делиться на 13 без остатка.

---

Вот число 339 проверяется условием. Следующее число 1002, но это уже больше тысячи.

---

Получается единственный ответ 113 в батарее и 339 в дивизионе. Этот ответ совпадает с ответом задачи в олимпиаде.

---

Может, Вы и правы и я неверно понял условие, но РЕШЕНИЕ остается таким же, только 2м-1 кратно 39. Достаточно проверить м=20 и м=59. М=59 дает количество больше 1000. Так что решение вполне короткое.