При каких значения параметра p, неравенство верно при всех значениях х.

Умножим обе части уравнения на (-1) и поменяем знак неравенства на противоположный

$(5-p)x^2-2(p-2)x+p+3\ \textgreater \ 0$

Вычислим дискриминант квадратного уравнения

$D=b^2-4ac=(-2(p-2))^2-4\cdot(5-p)(p+3)=\\ =4p^2-16p+16+4p^2-8p-60=8p^2-24p-44$

неравенство будет выполнятся для всех х ∈ R, если D<0<br>
$8p^2-24p-44\ \textless \ 0|:4\\ 2p^2-6p-11\ \textless \ 0$

Приравниваем к нулю

$2p^2-6p-11=0\\ D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot2\cdot(-11)=36+88=124\\ \\ p_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} = \frac{6\pm2 \sqrt{31} }{2\cdot2} = \frac{3\pm \sqrt{31} }{2}$

___+___(3-√31/2)___-____(3+√31/2)____+___

$p\in (\frac{3- \sqrt{31} }{2} ;\frac{3+ \sqrt{31} }{2} )$