Сходится или расходится ряд?как доказать, по какому признаку? очень надеюсь, что в этом...

1. $a_n= \dfrac{1}{ \sqrt{n}\ln^2 n }$
По логарифмическому признаку :
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\ln\big( \frac{1}{a_n} \big)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln\big(\sqrt{n}\ln^2 n\big)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{0.5\ln n+2\ln (\ln n)}{\ln n} =\\ \\ \\ =0.5+2 \lim_{n \to \infty} \frac{\ln (\ln n)}{\ln n} =0.5\ \textless \ 1$

Ряд расходится.

2. Сравним с рядом $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{ \sqrt[3]{n} }$ - расходится. и обозначим $a_n= \dfrac{1}{ \sqrt[3]{n} } ;\,\,\,\,\,\,\, b_n=arctg\dfrac{1}{ \sqrt[3]{n} }$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n} \,\,\, arctg\dfrac{1}{ \sqrt[3]{n} } =1\ne 0$

Поскольку предел не равен 0, то оба ряда ведут себя одинаково. Т.е. по второму признаку сравнения данный ряд РАСХОДИТСЯ