Найти наименьшее значение функции y= (5x^2-3x+1)^(1/2) + (5x^2+3x+1)^(1/2)

0 голосов
23 просмотров

Найти наименьшее значение функции

y= (5x^2-3x+1)^(1/2) + (5x^2+3x+1)^(1/2)

Алгебра (30 баллов) | 23 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ
task/24978193
--------------------
Найти наименьшее значение функции
y= √(5x²-3x+1) + √(5x²+3x+1) .
------------------------------------------
D(y)= (-∞; ∞)  || 5x²-3x+1=5(x -3/10)²+11/20 ;5x²+3x+1=5(x +3/10)² +11/20 ||  * * * 5x²±3x+1=5(x±3/10)² +11/20 * * *
Функция y принимает исключительно положительные значение , поэтому минимальное значение принимает, если минимальное значение принимает y² .
y²= 5x²-3x+1 + 2√(5x²+1-3x)*√ (5x²+1+3x) +5x²+3x+1 =
2+10x²+2√( (5x²+1)² -(3x)² ) = 2+10x²+2√( 25x⁴+x² +1) .
min (y²) =4 ,если  x =0.

min (y) =2.
(181k баллов)
0 голосов

По неравенству Коши
        \sqrt{5x^2-3x+1}+ \sqrt{5x^2+3x+1} \geq 2 \sqrt{ \sqrt{5x^2-3x+1} \sqrt{5x^2+3x+1} } =\\ \\ \\ =2 \sqrt{ \sqrt{25x^4+x^2+1} } =2 \sqrt[4]{25x^4+x^2+1}

Равенство достигается только при х=0. При х=0 выражение \sqrt[4]{25x^4+x^2+1} принимает наименьшее значение , равное 1. Тогда наименьшее значение функции равно 2.

Ответ 2.
Похожие задачи