Какой знак имеет число ?

По условию $\frac{\pi}{4} \ \textless \ 1$ , следовательно, $tg 1\ \textgreater \ tg\frac{\pi}{4}=1$

Если $0\ \textless \ a\ \textless \ 1$ и $b\ \textgreater \ 1$ , то $\log_ab\ \textless \ 0$

Используя свойство монотонности логарифма, получим
$\log_\big{ \frac{ \pi }{4} }tg1\ \textless \ 0$ или $0\ \textless \ \frac{ \pi }{4}\ \textless \ 1$ и $tg 1\ \textgreater \ 1$

Число $\log_\big{\frac{ \pi }{4}}tg 1$ имеет знак минус