-5cos4x=2cos^2x+1 //////////

$-5\cos4x=2\cos^2x+1\\ \\ -5\cdot (2\cos^22x-1)=2\cdot \frac{1+\cos2x}{2} +1\\ \\ -10\cos^22x+5=1+\cos2x+1\\ \\ 10\cos^22x+\cos2x-3=0$

Пусть $\cos2x=t(|t| \leq 1)$ , тогда получаем

$10t^2+t-3=0\\ D=b^2-4ac=1^2+4\cdot10\cdot 3=121$
D>0, то квадратное уравнение имеет 2 действительных корней
$t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-1+11}{2\cdot10} =0.5\\ \\ t_2=\frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-1-11}{2\cdot10}=- \frac{3}{5}$

Возвращаемся к замене

$\cos2x=0.5\\ 2x=\pm \frac{ \pi }{3} +2 \pi n,n \in Z \,\,\, |:2\\ \\ \boxed{x_1=\pm \frac{\pi}{6} + \pi n,n \in Z}$

$\cos2x=-\frac{3}{5} \\ \\ 2x=\pm\arccos(-\frac{3}{5} )+2 \pi n,n \in Z\,\,\,\, |:2\\ \\ \boxed{x_2= \pm\frac{1}{2}\arccos\bigg(-\frac{3}{5} \bigg)+ \pi n,n \in Z }$