task/2507839
------------------
Сколько корней имеет уравнение 48x⁴ +32x³+1=0 ?
----------------------------
решение:
48x⁴ +32x³+1=0 ⇔(2x+1)²(12x²-4x+1) = 0 .
(2x+1)²= 0⇒ x= -1/2 ( один двойной (двукратный) корень→x₁= x₂ = -1/2)
---
12x²-4x+1= 0 D/4 =2² -12*1 = -8 = (2√2 i)² ; i² = -1
x₃ =(1-√2 *i) /6 , x₄ =(1+√2 *i) /6 → и пару простых сопряженных корней . * * * всего 4 корней (с учетом их кратности) * * *
* * * * * * * P.S * * * * * * *
48x⁴ +32x³ = -1 ;
f(x) =48x⁴+32x³ ООФ : x ∈ (-∞;∞)
f'(x) =(48x⁴+32x³) ' = 96x²(2x+1)
f ' (x) - + +
--------------[-1/2] -------------- [0]----------------
f(x) ↓ min ↑
Функция f(x) убывает, если x ∈ (-∞ ; 1/2 ]
Функция f(x) возрастает , если x∈ [ -1/2 ; ∞)
min f(x) =f (-1/2) = 48*(-1/2)⁴ +32(-1/2)³= 3 -4 = -1
если было бы min f(x) > -1 уравнение не имело бы действительных корней ;
был бы min f(x) < -1 уравнение имело бы 2 действительных корней .