Знайти нулі функції у=x²+5/x-2

$y= \frac{x^2+5}{x-2}$

$\frac{x^2+5}{x-2}=0$

Дробь обращается в нуль, если числитель равен нулю

x² + 5 = 0

Поскольку левая часть уравнения принимает только положительные значения, то уравнение решений не имеет

Ответ: нули функции нет.

Если же $y=x^2+ \frac{5}{x-2}$ , то уравнение $x^2+ \frac{5}{x-2} =0$ сводится к кубическому уравнению $x^3-2x^2+5=0$

И это уравнение можно решить по методу Виета-Кардано
$Q= \dfrac{a^2-3b}{9} = \dfrac{(-2)^2-3\cdot 0}{9} = \dfrac{4}{9} \\ \\ R= \dfrac{2a^3-9ab+27c}{54} = \dfrac{2\cdot(-2)^3-0+27\cdot5}{54} = \dfrac{119}{54} \\ \\ S=Q^3-R^2=\bigg(\dfrac{4}{9} \bigg)^3-\bigg( \dfrac{119}{54}\bigg)^2= - \dfrac{515}{108}$

Поскольку $S\ \textless \ 0$ , то кубическое уравнение имеет 1 действительный корень и 2 комплексных корней.

$\phi= \dfrac{1}{3} \arccos\bigg( \dfrac{R}{ \sqrt{Q^3} }}\bigg)\approx0.898$

$x=-2\, sgn(R)\cdot \sqrt{Q} \cdot ch(\phi)- \dfrac{a}{3} \approx-1.242$