Отправляясь на войну с троянцами - обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом. Царь острова Итака - подлежащее. Одиссей - приложение (определение). Вверил - сказуемое. Заботам - дополнение. Ментора - определение (чьим?). Свой - определение. Дом - дополнение. Воспитание - дополнение. Своего, родившегося, Телемака - определения. Недавно - обстоятельство. Сына - дополнение.