Решить систему x^(log 2 (y))+y^(log 2 (x))=16; log 2 (x)-log 2 (y)=2

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-05-15T10:02:31+0000

Решить систему
$\left \{ {{x^{log_2(y)}+y^{log_2(x)}=16}} \atop {log_2 (x)-log_2 (y)=2}} \right.$
Решение
Область допустимых значений системы уравнений
x>0, y>0.
Для наглядности решения заменим переменные
$x=2^t$ $y=2^z$
log₂(x)=t log₂(y)=z
Подставим в исходную систему уравнений
$\left \{ {{(2^t)^z+(2^z)^t=16}} \atop {t-z=2}} \right.$
$\left \{ {{2^{tz}+2^{tz}=16}} \atop {t-z=2}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{2*2^{tz}=16}} \atop {t-z=2}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{2^{tz}=8}} \atop {t-z=2}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{2^{tz}=2^3}} \atop {t-z=2}} \right.$
$\left \{ {{tz=3}} \atop {t-z=2}} \right.$
Решаем систему уравнений по методу подстановки
Из второго уравнения выразим переменную t и подставим в первое уравнение
t =2+z
(2+z)z=3
z²+2z-3=0
D=2²-4*(-3)=4+12=16
z₁ = (-2 - 4)/2 = -3 t₁ = 2 - 3 = -1
z₂ = (-2 + 4)/2 = 1 t₂ = 2 + 1 = 3
Делаем обратную замену и находим переменные х и у
При z₁=-3 t₁=-1
x₁ = 2^t = 2^(-1) = 1/2 y₁ = 2^z = 2^(-3) = 1/8
При z₂=1 t₂=3
x₂ = 2^t = 2^(3) = 8 y₂ = 2^z = 2^(1) = 2
Получили две пары ответов
х=8 у=2
Проверка
$\left \{ {{8^{log_2(2)}+2^{log_2(8)}=8^1+2^3=8+8=16}} \atop {log_2 (8)-log_2 (2)=log_2 (2^3)-1=3-1=2}} \right.$
и
х=1/2=0,5 у=1/8=0,125
Проверка
$\left \{ {{ (\frac{1}{2}) ^{log_2( \frac{1}{8} )}+ (\frac{1}{8}) ^{log_2( \frac{1}{2} )}= \frac{1}{2} ^{-3}+ \frac{1}{8} ^{-1}=8+8=16}} \atop {log_2 ( \frac{1}{2} )-log_2 ( \frac{1}{8} )=log_2 (2^{-1})-log_2 (2)^{-3}=-1+3=2}} \right.$

Ответ: (8;2); (0,5;0,125)