1) (√3*cos(2x) + sin(2x))^2 = 7 + 3cos(2x - pi/6)
В левой части в скобке
2*(√3/2*cos(2x) + 1/2*sin(2x)) = 2*(cos(2x)*cos(p/6) + sin(2x)*sin(pi/6)) =
= 2*cos(2x - pi/6)
Получаем
(2*cos(2x - pi/6))^2 = 3*cos(2x - pi/6) + 7
Замена cos(2x - pi/6) = y
(2y)^2 - 3y - 7 = 0
4y^2 - 3y - 7 = 0
(y + 1)(4y - 7) = 0
y1 = cos(2x - pi/6) = 7/4 > 1 - решений нет.
y2 = cos(2x - pi/6) = -1
2x - pi/6 = pi + 2pi*k
x = (pi + pi/6)/2 + pi*k = 7pi/12 + pi*k
2. 8cos^2(x)*sin(x) + cos(x) = cos(3x) + 6sin(x)
8cos^2(x)*sin(x) - 6sin(x) = cos(3x) - cos(x)
Есть формула: 
2sin(x)*(4cos^2(x) - 3) = -2sin(2x)*sin(x)
Делим все на 2 и переносим налево. sin(x) выносим за скобки.
sin(x)*(4cos^2(x) - 3 + 2sin(x)*cos(x)) = 0
a) sin(x) = 0; x1 = pi*k
b) 4cos^2(x) - 3cos^2(x) - 3sin^2(x) + 2sin(x)*cos(x) = 0
Приводим подобные и меняем знаки.
3sin^2(x) - 2sin(x)*cos(x) - cos^2(x) = 0
Делим все на cos^2(x)
3tg^2(x) - 2tg(x) - 1 = 0
(tg(x) - 1)(3tg(x) + 1) = 0
tg(x) = 1; x2 = pi/4 + pi*n
tg(x) = -1/3; x3 = -arctg(1/3) + pi*m
3) cos^3(x) + sin^3(x) = cos(2x)
(cos(x) + sin(x))*(cos^2(x) - sin(x)*cos(x) + sin^2(x)) = cos^2(x) - sin^2(x)
(cos(x) + sin(x))*(1 - sin(x)*cos(x)) = (cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x))
Переносим все налево. Выносим за скобки (cos(x) + sin(x))
(cos(x) + sin(x))*(1 - sin(x)*cos(x) + sin(x) - cos(x)) = 0
a) cos(x) + sin(x) = 0
sin(x) = -cos(x)
tg(x) = -1; x1 = -pi/4 + pi*k
b) 1 - sin(x)*cos(x) + sin(x) - cos(x) = 0
(1 - cos(x)) + (sin(x) - sin(x)*cos(x)) = 0
(1 - cos(x)) + sin(x)*(1 - cos(x)) = 0
(1 - cos(x))*(1 + sin x) = 0
cos(x) = 1; x2 = 2pi*n
sin(x) = -1; x3 = 3pi/2 + 2pi*m