Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x), если:

Доказательство:

По определению, $F'(x)=f(x)$ . Следовательно, достаточно вычислить производную каждую из этих функций, и сопоставить с нужной функцией.

1.
Функция дифференцируема в любой точке, т.к. это многочлен.
$\displaystyle F(x)= \frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3-9x+15\\\\F'(x)=3x^3+4x^2-9=f(x),\,x\in\mathbb R$ .

Ч.Т.Д.

2.
$\displaystyle F(x)= 3\frac{1}{x^2}-5x-\sin x-10$ , данная функция не дифференцируема в точке $x=0$ (т.к. она не определенна в данной точке).
Следовательно, если $x\ne 0$ , то выполняется:

$\displaystyle F'(x)=3\left( -\frac{2}{x^3} \right)-5-\cos x=- \frac{6}{x^3} -5-\cos x$ .
Ч.Т.Д.