(х^2-х+1)^4-6х^2 (х^2-х+1)^2+5х^4=0

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Поделив левую и правую части уравнения на $x^2\ne 0$ , получим:
   $\bigg(x+ \dfrac{1}{x} -1\bigg)^4-6\times\bigg(x+ \dfrac{1}{x} -1\bigg)^2+5=0$
Введем замену. Пусть $\bigg(x+ \dfrac{1}{x} -1\bigg)^2=t$ , при условии что $t \geq 0$ , получим
$t^2-6t+5=0$
Согласно теореме Виета:
$\displaystyle \left \{ {{t_1+t_2=6} \atop {t_1\times t_2=5}} \right.$
$t_1=1;\\ t_2=5$
Выполним обратную замену.
   $\bigg(x+ \dfrac{1}{x} -1\bigg)^2=1\Rightarrow\,\,\,\, x+ \dfrac{1}{x} -1=\pm 1$
$x+ \dfrac{1}{x} -1=1\\ x+ \dfrac{1}{x} -2=0$
Умножим обе части уравнения на х≠0, получим
   $x^2-2x+1=0\Rightarrow\,\,\, (x-1)^2=0\Rightarrow\,\,\,\, x=1$
$x+ \dfrac{1}{x} -1=-1\\$
Снова же умножим обе части уравнения на х≠0, получаем
$x^2+1=0$
Это уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения принимает только положительные значения.

   $\bigg(x+ \dfrac{1}{x} -1\bigg)^2=5\Rightarrow\,\,\, x+ \dfrac{1}{x} -1=\pm \sqrt{5}$

Решим эти уравнения отдельно
$x+ \dfrac{1}{x} -1= \sqrt{5}$
Умножим обе части уравнения на x≠0, получаем
$x^2-(1+ \sqrt{5} )x+1=0\\ D=(-1- \sqrt{5} )^2-4=2+2 \sqrt{5} \\ \\ x_{2,3}= \dfrac{1+ \sqrt{5} \pm \sqrt{2+2 \sqrt{5} } }{2}$

$x+ \dfrac{1}{x} -1=- \sqrt{5}$
Умножив обе части уравнения на х≠0, получим $x^2+(-1+ \sqrt{5} )x+1=0$
$D=(-1+ \sqrt{5} )^2-4=2-2 \sqrt{5} \ \textless \ 0$
Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет<br>
Ответ $1;\,\,\, \dfrac{1+ \sqrt{5} \pm \sqrt{2+2 \sqrt{5} } }{2}.$

аноним 15 Май, 18