Интеграл

0 голосов
54 просмотров

Интеграл
\int\limits \, \frac{dx}{asinx+3cosx}


Алгебра (734 баллов) | 54 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Используем подстановку
u=tg(x/2)   du=(1/2)dx/(sin(x/2))^2, тогда
sinx=2u/(u^2+1)  cosx=(1-u^2)/(u^2+1) dx=2du/(u^2+1), получили
∫2du/((u^2+1)(2au/(u^2+1)+3(1-u^2)/(u^2+1)), упростив знаменатель, имеем
∫2du/(-3u^2+2au+3)=2∫du/(-3u^2+2au+3)=2∫(1/12)(36+4a^2)-(√3u-a/√3)^2)
s=√3u-pi/3     ds=√3du, получим
2/√3∫12ds/(36+4a^2)-s^2)=8√3/(36+4a^2)∫ds/(1-3s^2/(9+a^2))
Снова заменим p=√(3/(a^2+9)  dp=√((3/(a^2+9))ds
8√(9+a^2)/(36+4a^2)∫dp/(a-p^2)=8√(9+a^2)Arth(p)/(36+4a^2)+С
Делаем возврат
8√(9+a^2)Arth(p)/(36+4a^2)+С=2Arth(√(3s/(a^2+9))/(9+a^2)+C=2Arth(3u-a)/(√(9+a^2))/√(9+a^2)+C=2Arth(3tg(x/2)-a)/(√(9a^2))/√(9+a^2)+C

(8.5k баллов)