4. 
Область определения:
{ x - 6√x + 44 > 0
{ √x + 4 > 0
{ x >= 0
x >= 0.
Решаем неравенство
Основание 3 > 1, значит функция y = log3(x) возрастающая, поэтому при переходе от логарифмов к числам под ними знак неравенства остается.
x - 6√x + 44 < x + 8√x + 16
44 - 16 < 8√x + 6√x
14√x > 28
√x > 2
x > 4
Наименьшее целое решение: 3) 5.
5. 
Область определения: x > 3
Замена y = √(x - 3) > 0, потому что корень арифметический.
2y - 5/y = 9
2y^2 - 5 - 9y = 0
D = 9^2 - 4*2(-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2
y1 = (9 - 11)/4 < 0 - не подходит
y2 = (9 + 11)/4 = 20/4 = 5 - подходит
√(x - 3) = 5
x - 3 = 25
x = 28
6. 
(0,2)^2 = 0,04, поэтому
Основание 0 < 0,04 < 1, значит функция y = (0,04)^x убывающая, поэтому при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется.
2x - 3 < 3x - 4
4 - 3 < 3x - 2x
x > 1
7. (1 - ctg a)^2 + (1 + ctg a)^2 = 1 - 2ctg a + ctg^2 a + 1 + 2ctg a + ctg^2 a =
= 2 + 2ctg^2 a = 2(1 + cos^2 a / sin^2 a) = 2(sin^2 a + cos^2 a)/sin^2 a =
= 2*1/sin^2 a = 2/sin^2 a
Доказано.
8. Система
{ x + xy + y = 1
{ x^2*y + xy^2 = -30
Преобразуем
{ x + y = 1 - xy
{ xy(x + y) = -30
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
xy(1 - xy) = xy - (xy)^2 = -30
Замена xy = t
t - t^2 + 30 = 0
t^2 - t - 30 = (t - 6)(t + 5) = 0
Дальше возможно два варианта
а) t = xy = -5; x + y = 1 - xy = 1 - (-5) = 6
Получили теорему Виета:
{ x + y = 6
{ xy = -5
Это значит, что x и y являются корнями уравнения
z^2 - 6z - 5 = 0
D/4 = (-3)^2 - (-5) = 9 + 5 = 14
z1 = 3 - √14; z2 = 3 + √14
Решение: (x1 = 3 - √14; y1 = 3 + √14); (x2 = 3 + √14; y2 = 3 - √14)
б) t = xy = 6; x + y = 1 - xy = 1 - 6 = -5
Тоже самое, теорема Виета
{ x + y = -5
{ xy = 6
z^2 + 5z + 6 = (z + 2)(z + 3) = 0
z1 = 2; z2 = 3
Решение: (x3 = 2; y3 = 3); (x4 = 3; y4 = 2)