Укажите количество точек с целочисленными координатами, которые принадлежат области...

Функция имеет смысл, когда подкоренное выражение принимает неотрицательные значения, т.е.
$\displaystyle \left \{ {{-x^2+7x-6 \geq 0} \atop {x^2-8x+12 \geq 0}} \right.$
Решим эти неравенства отдельно:
1) $-x^2+7x-6 \geq 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на (-1), получим:
$x^2-7x+6 \leq 0$
Решим вспомогательное уравнение $x^2-7x+6=0$ . Согласно теореме Виета: $x_1=1;\,\,\,\, x_2=6.$

Решением неравенства $x^2-7x+6 \leq 0$ является промежуток $x \in [1;6].$

2) $x^2-8x+12 \geq 0$
Представим левую часть неравенства в виде:
$(x-4)^2-4 \geq 0\Rightarrow\,\,\, (x-4)^2 \geq 4$
Последнее неравенство равносильно совокупности неравенств:
$\left[\begin{array}{ccc}x-4 \geq 2\\ x-4 \leq -2\end{array}\right\Rightarrow\,\, \left[\begin{array}{ccc}x \geq 6\\ x \leq 2\end{array}\right$

Общее решение системы неравенств: $x \in [1;2]\cup\{6\}$ . Количество точек: 3.

Ответ 3.