Найти наибольшее значение функции

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$y = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + x + 1 } = \dfrac{x^2 + x + 1 + x }{x^2 + x + 1 } = 1 + \dfrac{x}{x^2 + x + 1 }$

$y' = 1' + \bigg ( \dfrac{x}{x^2 + x + 1 } \bigg )' = \dfrac{x'(x^2 + x + 1) -(x^2 + x + 1)'x}{(x^2 + x + 1 )^2} = \\ \\ =\dfrac{x^2 + x + 1 - x(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2 } = \dfrac{x^2 + x + 1 - 2x^2 - x^2}{(x^2 + x + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + x + 1)^2}$

y' ≥ 0
Знаменатель сразу убираем, т.к. он всегда принимает положительные значения ((x² + x + 1) > 0 при всех x).
1 - x² ≥ 0
(x - 1)(x - 1) ≤ 0
убывает -1 возрастает 1 убывает
--------------------●--------------------------●------------------> x
min max
Значит, x₀ = 1 - точка максимума.
Наибольшее значение функция будет принимать в данной точке:
$y_{max} = \dfrac{(1 + 1)^2}{1 + 1 + 1 } = \dfrac{4}{3}$
Ответ: 4/3.

Dимасuk_zn (145k баллов) 15 Май, 18

sedinalana_zn · Answer 1 · 2018-05-15T08:12:19+0000

Y`=[(2x+2)(x²+x+1)-(2x+1)(x²+2x+1)]/(x²+x+1)²=
=(2x³+2x²+2x+2x²+2x+2-2x³-4x²-2x-x²-2x-1)/(x²+x+1)²=(1-x²)/(x²+x+1)²=0
(1-x)(1+x)=0
x=1 x=-1
_ + _
-----------------------(-1)------------------(1)---------------
max
ymax=y(1)=(1+2+1)/(1+1+1)=4/3=1 1/3