Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

$\displaystyle \frac{x+1}{x^4+5x^3+6x^2}= \frac{x+1}{x^2(x^2+5x+6)}= \frac{x+1}{x^2(x+2)(x+3)}$
Разложим методом неопределённых коэффициентов
$\frac{x+1}{x^2(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x^2}+ \frac{B}{x}+ \frac{C}{x+2}+ \frac{D}{x+3} \\ \\ \frac{x+1}{x^2(x+2)(x+3)}= \frac{A(x+2)(x+3)+Bx(x+2)(x+3)+Cx^2(x+3)+Dx^2(x+2)}{x^2(x+2)(x+3)}$
Свели к общему знаменателю, можно теперь приравнять числители(сами это сделаете)

Подбираем любое х, например, х=0, получим
$x^0:\,\, 1=6A;\,\,\,\,\, A=\frac{1}{6}$
Также например возьмем x=-2, получим
$x^{-2}:\,\, -1=4C\,\,\,\,\, C=-\frac{1}{4}$
Например, возьмем еще х=-3, получим
$x^{-3}:\,\,-2=-9D;\,\,\,\,\, D= \frac{2}{9}$
Ну и последнее нужно определить B, возьмем например х=-1, получим
$x^{-1}:\,\, 0=2A-2B+2C+D;\,\,\,\,\,\,\, B= \frac{1}{36}$

Значит, дробь разложится в виде суммы простейших дробей так:

$\boxed{ \frac{x+1}{x^4+5x^3+6x^2}= \frac{1}{6x^2}+ \frac{1}{36x}- \frac{1}{4(x+2)}+ \frac{2}{9(x+3)} }$