Решить:

Пусть $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x$ .

Возведем это равенство в куб, сгруппировав слагаемые следующим образом:

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ .

Получаем: $2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\sqrt[3]{4-5}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=x^3;$

$4-3x=x^3;\ x^3+3x-4=0.$

Угадываем решение x=1 и понимаем, что благодаря монотонности левой части других решений нет (если есть сомнения, вычисляем производную, которая оказывается всюду положительной, либо, если совсем уж делать нечего, раскладываем нашу функцию в произведение $(x-1)(x^2+x+4)$ , причем замечаем, что квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант).

Ответ: 1