Срочно..помогите..✔⁉

Если речь идет о сходимости ряда, то она следует из признака сравнения: $\frac{48}{n(n+4)}\ \textless \ \frac{48}{n^2}$ .

Поставим максимальную задачу - найти сумму ряда (и тем самым вторым способом доказать сходимость). Для этого напишем важное разложение, которое полезно помнить наизусть, чтобы не приходилось каждый раз его выводить:

$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$

С его помощью частичную сумму ряда можно записать в виде

$S_n=\frac{48}{4}(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\ldots + \frac{1}{n}-\frac{1}{n+4})=$

$=12(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}- \frac{1}{n+4})$

(все остальные слагаемые уходят). Поэтому

$S=\lim\limits_{n\to \infty} S_n=12(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})= 12+6+4+3=25$

Ответ: 25