2sin^2x=3 корня из 2 sin (P/2-x) + 4

$2\sin^2x=3 \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{2}-x)+4\\ 2\sin^2x=3\sqrt{2} \cos x+4\\ 2(1-\cos^2x)=3\sqrt{2} \cos x+4\\ 2-2\cos^2x=3\sqrt{2} \cos x+4\\ 2\cos^2x+3\sqrt{2} \cos x+2=0$
Пусть $\cos x=t$ , причем $|t| \leq 1$ , тогда получаем квадратное уравнение
$2t^2+3\sqrt{2} t+2=0\\ D=b^2-4ac=(3\sqrt{2} )^2-4\cdot2\cdot2=18-16=2$
$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{3\sqrt{2} +\sqrt{2} }{2\cdot2} =\sqrt{2}$ - не удовлетворяет условию

$t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{3\sqrt{2} -\sqrt{2} }{2\cdot2} = \dfrac{1}{\sqrt{2} }$

Обратная замена:

$\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2} } \\ \\ \\ x=\pm \dfrac{\pi}{4} +2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$

Ответ уравнения $\pm \frac{\pi}{4} +2 \pi n,n \in \mathbb{Z}$

Отбор корней на промежутке $[\pi; \frac{5 \pi }{2} ]$
Для $x= \frac{\pi}{4} +2 \pi n$
$n=1;\,\, x= \frac{\pi}{4}+2 \pi = \frac{9 \pi }{4} \in [\pi; \frac{5 \pi }{2} ]$
Для $x=- \frac{\pi}{4} +2 \pi n$
$n=1;\,\,\, x=- \frac{\pi}{4}+2 \pi = \frac{7 \pi }{4}$