Вынесем за скобку √(5² + 12)², т.е. 13:
13 · (5/13 · sinα - 12/13 · cosα)
Т.к. (5/13)² + (12/13)² = 1, то это синус и косинус одного и того же угла. Можно считать, что 5/13 = cosβ и 12/13 = sinβ
Тогда β = arcsin (12/13)
13 · (sinα · cosβ - cosα · sinβ) = 13 · sin (α - arcsin (12/13))
Значение синуса любого угла принадлежит промежутку [ - 1 ; 1 ]:
- 1 ≤ sin (α - arcsin (12/13)) ≤ 1
- 13 ≤ 13 · sin (α - arcsin (12/13)) ≤ 13
arcsin(4/5) + 2arctg(1/3) = π/2
По определению арксинуса, арксинус 4/5 - это угол, синус которого равен 4/5. Т.е.
arcsin(4/5) = α, sinα = 4/5
Аналогично, arctg(1/3) = β, tgβ = 1/3
Значит, надо доказать, что
α + 2β = π/2
Если сумма углов равна π/2, то синус одного угла равен косинусу другого, т.е. если
sinα = cos (2β), то равенство доказано.
Найдем cos (2β):
tgβ = 1/3
1 + tg²β = 1/cos²β
10/9 = 1/cos²β
cos²β = 9/10
cos (2β) = 2cos²β - 1 = 2 · 9/10 - 1 = 8/10 = 4/5
sinα = 4/5 = cos (2β) ⇒ α + 2β = π/2
Что и требовалось доказать.