Y"-4y'+3y=(x^2-4)*e^x

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, неоднородное.

Нужно найти: Yо.н. = Yо.о. + Yч.н., где Yо.о. - общее однородное уравнение, Yч.н. - частное решение неоднородного

Найдем общее решение однородного уравнения:
$y''-4y'+3y=0$
Воспользуемся методом Эйлера. Пусть $y=e^{kx}$ , будем получать характеристическое уравнение след. вида:
$k^2-4k+3=0\\ (k-2)^2-1=0\\ k-2=\pm1\\ k_1=3\\ k_2=1$

$Y_{o.o}=C_1e^{3x}+C_2e^x$ - общее решение однородного уравнения.

Поиск частного решения
Рассмотрим функцию $f(x)=(x^2-4)e^x$
$P_n(x)=x^2-4\,\,\,\, \to \,\,\,\, n=2;\\ \alpha =1$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и привлечем внимания что n=2, то частное решение будем искать в виде

Yч.н. = $xe^x(Ax^2+Bx+C)$

Найдем первую и вторую производную функции

$y'=e^x(x(2Ax+B)+x(Ax^2+Bx+C)+Ax^2+Bx+C)$
$y''=e^x(2Ax^2+6Ax+2Bx+2B+2C+2x(2Ax+B)+x(Ax^2+Bx+C))$

Подставив в исходное уравнение, будем иметь

$-6Ax^2+6Ax-4Bx+2B-2C=x^2-4$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$-6A=1\,\,\,\,\,\,\,\,\to A=- \frac{1}{6} \\ 6A-4B=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to B=- \frac{1}{4} \\ 2B-2C=-4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to C= \frac{7}{4}$

Частное решение будет иметь след вид:

Yч.н. = $xe^x(-\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{4} x+\frac{7}{4})$

Тогда общее решение неоднородного уравнения примет следующий вид:

$\boxed{y=C_1e^{3x}+C_2e^x+xe^x(-\frac{1}{6} x^2-\frac{1}{4} x+\frac{7}{4}) }$

аноним 14 Май, 18