Помогите решить задание по высшей математике 2-я методами

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Метод Бернулли.
Пусть $y=uv$ , тогда $y'=u'v+uv'$ будем иметь

$u\cdot\bigg( \dfrac{3v}{x-1} +v'\bigg)+u'v=x-1$

1) Предположим, что первое слагаемое будет равен нулю

$\dfrac{3v}{x-1} +v'=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\dfrac{dv}{v} =- \dfrac{3dx}{x-1}$

Интегрируя, получаем

$\ln|v|=-3\cdot \ln|x-1|\\ \\ \\ v=\dfrac{1}{(x-1)^3}$

2) Исходя из этого, найдем u

$u'\cdot \dfrac{1}{(x-1)^3} =x-1\\ \\ u'=(x-1)^4$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$\displaystyle y= \int\limits(x-1)^4dx= \frac{1}{5} (x-1)^5+C$

Сделаем обратную замену

$\displaystyle \boxed{y=uv= \frac{1}{(x-1)^3} \cdot\bigg(\frac{1}{5} (x-1)^5+C\bigg)=\frac{1}{5} (x-1)^2+ \frac{C}{(x-1)^3}}$ - общее решение

Метод Лагранжа.

Для начала ищем общее решение однородного уравнения, то есть, уравнение следующего вида:
$y'+ \dfrac{3y}{x-1} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{y} =-\dfrac{3}{x-1}$
Интегрируя обе части уравнения, имеем

$\ln|y|=-3\ln|x-1|+\ln C\\ \\ y= \dfrac{C}{(x-1)^3}$

Примем константу за функцию, то есть

$y=\dfrac{C(x)}{(x-1)^3}$

И найдем ее производную

$y'= \dfrac{C'(x)(x-1)^3-3C(x)(x-1)^2}{(x-1)^6} = \dfrac{C'(x)(x-1)-3C(x)}{(x-1)^4}$

И подставим в исходное уравнение

$\displaystyle \dfrac{C'(x)(x-1)-3C(x)}{(x-1)^4} + \frac{3C(x)}{(x-1)^4} =x-1\\ \\ \\ \frac{C'(x)}{(x-1)^3} - \frac{3C(x)}{(x-1)^4} + \frac{3C(x)}{(x-1)^4} =x-1\\ \\ \\ \frac{C'(x)}{(x-1)^3} =x-1\\ \\ \\ C'(x)=(x-1)^4$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$C(x)= \dfrac{1}{5} (x-1)^5+C$

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет :

$\boxed{y= \dfrac{\dfrac{1}{5} (x-1)^5+C}{(x-1)^3} = \dfrac{1}{5} (x-1)^2+ \dfrac{C}{(x-1)^3}}$

аноним 14 Май, 18