Даю 25 баллов. Найдите все действительные корни уравнения: |x-√x(-3)|+|√x(+7)-x|=6...

Question

Дано ответов: 2

Kulakca_zn · Answer 1 · 2018-05-14T17:27:35+0000

Решаем первую задачу.
Есть резон ввести замену:
$\sqrt{x} - x = t$
Тогда уравнение принимает вид:
$|-t-3| + |t+7| = 6 \\ |t+3| + |t+7| = 6 \\ 1)t \ \textless \ -7, -t - 3 - t - 7 = 6 \\ -2t = 16 \\ t = -8 \\ 2)-7 \leq t \leq -3, -t-3 + t + 7 = 6 \\ 4 = 6$ - неверно. Поэтому на данном интервале корней нет.
$3)t \ \textgreater \ -3, t + 3 + t + 7 = 6 \\ 2t = -4 \\ t = -2$ .

Оба полученных корня принадлежат свои интервалам, поэтому уравнение относительно t имеет два корня:
$t_{1} = -8, t_{2} = -2$
Возвращаясь к переменной х, получаем совокупность двух уравнений:

$\sqrt{x} -x = -8$                или         $\sqrt{x} -x = -2$
Решаем их:                                                             $\sqrt{x} -x = -2 \\ \sqrt{x} = x - 2 \\ x = (x-2)^{2} \\ x = x^{2} - 4x + 4 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ x_{1} = 1; x_{2} = 4$
        Поскольку квадратный корень должен быть неотрицателен, то корни должны удовлетворять условию      $x-2 \geq 0$ Корень x = 1 не подходит.
$\sqrt{x} = x - 8 \\ x = (x-8)^{2} \\ x = x^{2} - 16x + 64 \\ x^{2} - 17x + 64 = 0 \\ D = 17^{2} - 4 * 64 = (17 - 2 * 8)(17 + 2 * 8) = 17 + 16 = 33 \\ x_{1,2} = \frac{17 +- \sqrt{33} }{2}$

Здесь аналогично предыдущему уравнению. Должно выполняться условие
       $x - 8 \geq 0$
Здесь корень $x_{2} = \frac{17 - \sqrt{33} }{2}$ этому условию не удовлетворяет, поскольку
$\sqrt{33} \ \textgreater \ \sqrt{25} = 5$ ,а тогда

$\frac{17 - \sqrt{33} }{2} \ \textless \ \frac{17 - 5}{2} = 6 \ \textless \ 8$
Второй корень, очевидно, превосходит 8, поскольку $\sqrt{33} \ \textgreater \ 0$ , а $17 \ \textgreater \ 16$

Ответ: $\frac{17 + \sqrt{33} }{2} ;4$

2)Решим неравенство $\sqrt{2 x^{2} -7x-4} \ \textgreater \ -x - \frac{1}{4}$

Оно равносильно совокупности двух систем неравенств:
          $\left \{ {{-x- \frac{1}{4} \ \textless \ 0} \atop {2 x^{2} -7x-4 \geq 0}} \right.$    или    $\left \{ {{-x- \frac{1}{4} \geq 0} \atop {2 x^{2} -7x-4 \ \textgreater \ (-x- \frac{1}{4}) ^{2} }} \right.$

а)Решаем первую систему.
          $-x- \frac{1}{4} \ \textless \ 0 \\ -x \ \textless \ \frac{1}{4} \\ x \ \textgreater \ - \frac{1}{4}$

          $2 x^{2} -7x-4 \geq 0$
           Напомню процесс решения квадратичного неравенства.
           Для начала ищем корни левой части.
             $2 x^{2} -7x-4 = 0 \\ D = 49 + 4\cdot2\cdot4 = 49 + 32 = 81 \\ x_{1} = \frac{7-9}{4} = - \frac{1}{2} ; x_{2} = \frac{7+9}{4} = 4$
Тогда по формуле разложения квадратного трёхчлена на множители:
          $2(x-(- \frac{1}{2})) (x-4) \geq 0$
          $(x+ \frac{1}{2}) (x-4) \geq 0$
Теперь наносим числа, обращающие каждую скобку в 0(в точности полученные корни) на числовую ось(на рисунке всё я показал). Точки заштрихованные, поскольку и они удовлетворяют неравенству(левая часть может обратиться в 0 - знак неравенства нестрогий). Коэффициенты при x в последнем разложении положительны(равны 1). Поэтому в крайнем правом интервале на оси ставим знак +. Корни различны. Применяем правило знакочередования справа налево(+-+). Исходя из знака неравенства выбираем интервалы, где у нас +.
$x \leq - \frac{1}{2}$ или $x \geq 4$
Теперь пересекаем решения и получаем ответ первой системы:
$x \geq 4$

б)Решаем вторую систему.
         $-x - \frac{1}{4} \geq 0 \\ x \leq - \frac{1}{4}$

         $2 x^{2} -7x-4 \ \textgreater \ x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} \\ x^{2} - \frac{15}{2} x - \frac{65}{16} \ \textgreater \ 0|\cdot16 \\ 16 x^{2} - 8\cdot15x - 65 \ \textgreater \ 0$
Решаем неравенство аналогично предыдущему:

     <img src="https://tex.z-dn.net/?f=16+x%5E%7B2%7D+-+8%5Ccdot15x+-+65+%3D+0+%5C%5C+D+%3D++%288%5Ccdot15%29%5E%7B2%7D+%2B+4%5Ccdot16%5Ccdot65+%3D++8%5E%7B2%7D+%5Ccdot+15%5E%7B2%7D++%2B+4%5Ccdot16%5Ccdot65+%3D+4%282%5Ccdot8%5Ccdot+15%5E%7B2%7D++%2B+16%5Ccdot65%29++%5C%5C+%3D4%5Ccdot8%282%5Ccdot+15%5E%7B2%7D+%2B+2%5Ccdot65%29+%3D+4%5Ccdot8%5Ccdot2%28+15%5E%7B2%7D+%2B+65%29+%3D+4%5Ccdot8%5Ccdot2%5Ccdot5%283%5Ccdot15%2B13%29%3D+%5C%5C+4%5E%7B2%7D++%5Ccdot+2%5E%7B2%7D+%5Ccdot5%5Ccdot58%3D4%5E%7B2%7D++%5Ccdot+2%5E%7B2%7D%5Ccdot290" id="TexFormula30" title="16 x^{2} - 8\cdot15x - 65 = 0 \\ D = (8\cdot15)^{2} + 4\cdot16\cdot65 = 8^{2} \cdot 15^{2} + 4\cdot16\cdot65 = 4(2\cdot8\cdot 15^{2} + 16\cdot65