Рассмотрим случай, когда
получаем уравнение
- однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения традиционно решаются путём деления обеих частей на
либо на
. Поделим на косинус.
P.S.: здесь надо остановиться и отметить, почему можно разделить на синус, либо косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим обратное. Пусть
. Но тогда из самого уравнения находим, что и
. Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества
- противоречие. Поэтому косинус ВСЮДУ отличен от 0 и можно на него разделить, что мы и сделали.
Пусть теперь
. Тогда у нас имеется уравнение вида:
Помножим обе части на
с условием, разумеется, что
Имеем систему:
Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.
Здесь уже хорошо видно, что если
,то уравнение имеет вид:
Отсюда
или
Последнее уравнение тоже однородное, мы поделили на
. Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, поскольку если cos x = 0, то sin x = 1.
Пусть
Тогда делим обе части на
Пусть ctg x = t
.
Это уравнение является квадратным, поскольку
Его дискриминант
Далее рассмотрим такие случаи:
1)
, тогда квадратное уравнение относительно котангенса не имеет корней. исходное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
Ищем корни квадратного трёхчлена:
Решая неравенство, получаем, что при
∈
∞
∪
+∞
исходное уравнение не имеет решений.
2)Если же
, то есть
,
что происходит при
∈
∪
∪
,то квадратное уравнение имеет два различных корня:
Возвращаемся обратно к x:
или
Вписываются ли эти серии в условие <img src="