Найти интеграл

Сначала возьмем интегралы в областях, в которых мы все знаем про функцию

$x\ \textless \ 0\\ \int e^{-(-x))}dx = e^x+C_1\\\\ x\geq 0\\ \int e^{-x}dx = -e^{-x}+C_2$

Хотелось бы, чтобы первообразная, склеенная из двух половинок, была непрерывной функцией, иначе возникнут как минимум 2 проблемы - во первых, с дифференцируемостью в точке разрыва (ну допустим мы ее решим предельным переходом) и с нахождением площади под графиком, а это уже будет посложнее.

Поэтому заметим, что если выбрать постоянную С=0 в обоих случаях, то левая ветка стремится к e^0 = 1 а правая ветка к -e^(0)=-1 - разрыв имеет ширину 2. Поэтому хорошая первообразная должна иметь такой вид

$\displaystyle\\ \int e^{-|x|}dx = \left\{\begin{aligned}&e^{x}+C,x\ \textless \ 0\\&2-e^{-x}+C,x\geq 0\end{aligned}\right.$

Графиком такой функции будет гладкая неразрывная кривая, имеющая производную в нуле.